크라머스-크로니히(Kramers-Kronig) 관계식

크라머스-크로니히 관계식 (Kramers-Kronig relations) 혹은 KK 관계식은 어떤 복소함수 $\mathcal{H}(\omega)$가 복소평면상의 상반면 즉 허수부 계수가 양수인 영역에서 해석적 (Analytic)이라면 그 실수부 $\text{Re }\mathcal{H}$ 를 허수부로부터 직접 계산할 수 있으며 그 역 또한 성립한다는 정리입니다.

\[\text{Re }\mathcal{H}(\omega) = \displaystyle{\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}}\frac{\text{Im }\mathcal{H}(\omega ')}{\omega ' - \omega}d\omega' \tag{1}\]

이 관계식의 증명에는 크게 두 가지 접근이 있습니다. 첫 번째 방법은 복소적분을 이용하는 것으로 보다 일반적인 증명이며, 다른 방식은 $\mathcal{H}(\omega)$의 시간 도메인 표현 (이를 $H$라고 합시다)에서 출발하는 것으로 보다 시각적으로 이해하기 편안한 증명입니다만 복소경로적분을 이용한 증명보다는 참고자료를 찾기가 더 어렵습니다.

아래 애니메이션은 manim을 이용하여 작성한 것으로 후자의 증명 과정을 보여줍니다.

이 버전의 증명은 $\mathcal{H}(\omega)$의 시간 도메인 시그널인 $H(t)$가 인과적(causal)이라는 조건에서 출발합니다. 인과성(causality)란 출력 신호가 존재하기 위해서는 반드시 입력 신호가 선행해야 한다는 것으로, 수학적으로는 $H(t)=0$ for $t < 0$과 같이 주어집니다. 그래프로 표현할 때는 특정 시점 $t=0$을 기준으로 그 이전에는 신호가 존재하지 않다가 ($t<0$) 해당 시점 이후로는 신호가 존재하는 형태로 그려집니다.

인과성을 만족하는 신호는 반드시 하나의 우함수와 하나의 기함수의 합으로 표현될 수 있으며, 이러한 우함수(기함수)는 기함수(우함수)에 부호 반전 함수 (signum 함수)를 곱한 형태로 나타낼 수 있습니다. 우함수(기함수)를 푸리에변환한 결과가 허수부(실수부)만을 갖는다는 점을 이용하여 크라머스-크로니히 관계식을 유도할 수 있습니다,

전기화학 임피던스분광법 (EIS)의 측정 결과는 일반적으로 KK 관계식을 만족할 것으로 예상됩니다. 즉 임피던스 신호는 인과적이며 실수부 혹은 허수부만을 이용하여 전체 신호를 복원할 수 있을 것으로 여겨지고 또한 이것이 가능해야 유효한 결과(선형성 / 안정성 / 인과성을 만족하는)로 평가할 수 있습니다. 복소적분을 이용한 증명의 경우 복소평면상에서 어떤 함수가 해석적인 영역에서 해당 함수를 폐곡선을 따라 적분한 결과는 특이점이 없는 이상 0이 된다는 점을 이용해야 하는데, 시간 도메인에서의 인과성 조건은 주파수 도메인에서는 푸리에변환을 통해 얻어진 함수가 복소평면상의 상반면에서 해석적일 필요충분조건이 되고 따라서 이 포스트에서 소개하는 증명과 복소적분 기반 증명이 서로 동치를 이루게 됩니다.